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판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b2 – 4ac에요. 이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠.
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판별식 내용을 그냥 외우지 말고, 이해를 먼저 하고 외우자!
이 이차부등식의 해가 존재한다면, 바로 아래 그림과 같을 때일 것입니다. . a값을 모르기 때문에 정확하게 그래프가 …
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 4/30/2021
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이차부등식의 해와 이차함수의 그래프 – JW MATHidea
이차부등식과 이차함수의 그래프. 이차함수 (a>0)의 그래프가 x축과 만나는 경우 x좌표를 이차방정식 의 판별식을 라고 하면. 1. 이차함수의 그래프가 …
Source: jwmath.tistory.com
Date Published: 4/11/2022
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이차부등식 푸는 법 총정리!! (인수분해, 판별식, 그래프) – 미분때려
횐님들 안녕하세영~~ 수학 풀기 딱 좋은 날이네영. 오늘은 횐님들이 문제를 조금 풀어보려고 하면 발목을 잡는 이차부등식 풀이를 총정리 해보겠어영.
Source: mittay.tistory.com
Date Published: 2/16/2022
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Source: chewathai27.com
Date Published: 7/13/2022
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이차방정식의 판별식 이차방정식의 판별식에 대해 공부해봅시다. 이차방정식의 근을 구하지 않은 상태에서 근의 개수를 알아내는 방법입니다.
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이차부등식과 연립이차부등식 by 이 도원 – Prezi
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Date Published: 7/10/2021
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그래프로 보는 이차부등식 – 경주의 밤
이차부등식과 판별식. 위 목표에서 이차부등식은 여러가지 상황이 존재한다. 보통 이차방정식을 그래프로 그리고 x축과의 접점들을 근이라고 하는데, …
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Date Published: 4/27/2021
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주제에 대한 기사 평가 이차 부등식 판별 식
- Author: 수악중독
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- Date Published: 2018. 3. 12.
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이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해
이차부등식의 해를 구할 때 판별식을 보면 해를 구할 수 있어요. 물론 해를 바로 구할 수 있는 경우도 있고, 아닌 경우도 있지만 판별식을 보면 대충 감이 오죠.
판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b2 – 4ac에요.
이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠. 판별식과 이차부등식의 해 판별식 D > 0일 때
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0) 에서 좌변만 보죠. D > 0이면 두 근을 가져요. 이 근을 α, β (α < β)라고 하면, a(x - α)(x - β)로 인수분해가 돼요. ax2 + bx + c = 0 a(x - α)(x - β) = 0 이차방정식에서 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠. ax2 + bx + c > 0
a(x – α)(x – β) > 0
이차부등식, 이차부등식의 해에서 봤던 꼴이죠? 이때는 해가 어떻게 된다고 했나요?
a(x – α)(x – β) > 0 → x < α or x > β
a(x – α)(x – β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x – α)(x – β) < 0 → α < x < β a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β 판별식 D = 0일 때 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a > 0) 에서 판별식 D = 0이면 완전제곱식이 되고, 중근을 가져요. 이때의 해를 α라고 해보죠.
ax2 + bx + c = 0
a(x – α)2 = 0
이번에도 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.
ax2 + bx + c > 0
a(x – α)2 > 0
어떤 실수의 제곱은 0보다 크거나 같아요. x = α이면 좌변은 0이 돼서 부등식이 성립하지 않아요. x ≠ α일 때는 부등식이 성립하죠. 따라서 이때의 해는 x ≠ α인 모든 실수가 되겠죠?
ax2 + bx + c ≥ 0
a(x – α)2 ≥ 0
위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 물론 x ≠ α일 때도 성립하죠. 따라서 해는 모든 실수가 됩니다.
ax2 + bx + c < 0 a(x - α)2 < 0 좌변은 실수의 제곱과 양수 a의 곱이므로 0보다 크거나 같아요. 따라서 해는 없어요. ax2 + bx + c ≤ 0 a(x - α)2 ≤ 0 위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 그 외에는 성립하지 않죠. 따라서 해는 x = α에요. 판별식 D < 0일 때 D < 0이면 일반적인 방법으로는 인수분해가 되지 않아요. 그래서 조금 다른 방법으로 해를 구해야 해요. 중학교 때 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하는 걸 해봤어요. 이걸 이용해보죠. 완전제곱식으로 고치는 과정 펼치기 완전제곱식으로 고치는 과정 접기 완전제곱식으로 고치는 과정 접기 정리해보면, 예요. 앞에 있는 항은 제곱이니까 이고, D < 0이므로 에요. 따라서 이차식 ax2 + bx + c (a > 0)은 모든 x에 대하여 항상 양수예요.
ax2 + bx + c > 0과 ax2 + bx + c ≥ 0은 항상 성립하므로 해는 모든 실수이고, ax2 + bx + c < 0과 ax2 + bx + c ≤ 0은 해가 없지요. 판별식과 이차부등식의 해 설명이 길었는데, 정리해보면 아래 표로 간단히 나타낼 수 있어요. 판별식과 이차부등식의 해(a > 0) D > 0 D = 0 D < 0 ax2 + bx + c > 0 x < α or x > β x ≠ α인 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c ≥ 0 x ≤ α or x ≥ β 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c < 0 α < x < β 해는 없다. 해는 없다. ax2 + bx + c ≤ 0 α ≤ x ≤ β x = α 해는 없다. 다음 부등식의 해를 구하여라. (1) x2 - 4x + 4 > 0
(2) x2 – 4x + 4 ≤ 0
(1) 좌변을 인수분해 해보죠.
x2 – 4x + 4 > 0
(x – 2)2 > 0
좌변이 완전제곱식으로 인수분해가 됐으니 D = 0이네요. 판별식을 따로 구해보지 않아도 알 수 있죠? 이때는 x = 2이면 좌변이 0이 되어서 성립하지 않지만 x ≠ 2이면 부등식이 성립하죠? 따라서 해는 x ≠ 2인 모든 실수가 됩니다.
(2) x2 – 4x + 4 ≤ 0
(x – 2)2 ≤ 0
x = 2일 때는 좌변이 0이므로 식이 성립하지만, 그 외에는 좌변 > 0이므로 식이 성립하지 않아요. 따라서 해는 x = 2네요.
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정리해볼까요 판별식과 이차부등식의 해(a > 0) D > 0 D = 0 D < 0 ax2 + bx + c > 0 x < α or x > β x ≠ α인 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c ≥ 0 x ≤ α or x ≥ β 모든 실수 모든 실수 ax2 + bx + c < 0 α < x < β 해는 없다. 해는 없다. ax2 + bx + c ≤ 0 α ≤ x ≤ β x = α 해는 없다. 그리드형(광고전용)
판별식 내용을 그냥 외우지 말고, 이해를 먼저 하고 외우자!
그래프를 그리면 우리는 근이 존재하는지, 존재한다면 몇 개가 존재하는 알 수 있습니다.
판별식은 이렇게 그래프를 그리지 않고서도 1)근의 존재 여부와 2)그 갯수 여부를 확인할 수 있도록 도와주는 참 편리한 도구입니다. 마치 드래곤볼의 전투력 측정기처럼 말이죠.
이차부등식의 해와 이차함수의 그래프
■ 이차부등식의 해와 이차함수의 그래프
부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, 좌변이 x에 대한 이차식인 부등식을 x에 대한 이차부등식이라고 한다.
▷ 이차부등식의 해법(이차부등식의 해를 구할 때 그래프를 그려서 생각하자.)
(1) 의 해
⇒ 의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위
⇒
(2) 의 해
⇒ 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 x값의 범위
⇒
▷ 이차부등식과 이차함수의 그래프
이차함수 (a>0)의 그래프가 x축과 만나는 경우 x좌표를 이차방정식 의 판별식을 라고 하면
1. 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나는 경우(D≥0)
(1) 의 해 ⇒ 또는
(2) 의 해 ⇒
(3) 의 해 ⇒ 또는
(4) 의 해 ⇒
2. 이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만나는 경우(D=0)
(1) 의 해 ⇒ 인 모든 실수
(2) 의 해 ⇒ 없다.
(3) 의 해 ⇒ 모든 실수
(4) 의 해 ⇒
3. 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않는 경우 (D<0) (1) 의 해 ⇒ 모든 실수 ← (2) 의 해 ⇒ 없다. ← (3) 의 해 ⇒ 모든 실수 ← (4) 의 해 ⇒ 없다. ← ▷ 이차부등식의 해 정리 이차함수 (a>0)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 , 이차방정식 의 판별식을 D라고 하면 이차부등식의 해는 다음과 같다.
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이차부등식 푸는 법 총정리!! (인수분해, 판별식, 그래프)
이차부등식 푸는 법 총정리
횐님들 안녕하세영~~ 수학 풀기 딱 좋은 날이네영. 오늘은 횐님들이 문제를 조금 풀어보려고 하면 발목을 잡는 이차부등식 풀이를 총정리 해보겠어영. 인수분해는 했는데 헷갈리거나, 인수분해가 안 되거나, 답이 모든 실수이거나 아예 없는 등, 이차부등식은 답의 종류가 너무 많아서 엄청 어려우실 거예영. 고1 횐님들뿐 아니라, 고2 횐님들도 로그 단원을 풀다가 이차부등식 때문에 막히기도 하지영. 오늘 이 모든 이차방정식을 부숴봅시다!! 고고고💨
이차부등식 푸는 법 총정리
이차방정식은 인수분해 하거나 근의 공식에 넣으면 끝인데 이차부등식은 그렇지 않지영.ㅠㅠ 경우도 많고 개념도 어려워서 복잡한데영, 지금부터 이차부등식을 보자마자 푸는 법을 차례차례 익혀봅시다~
이차부등식을 맨 처음 봤을 때 해야할 일은, 이차항의 계수가 양수인지 확인한 뒤 인수분해하는 거예영. (이차항의 계수가 음수여도 풀 수 있지만 양수로 바꿔준 뒤에 푸는 걸로 약속합시다!)
자 이제 이차부등식이 인수분해가 되었다고 치면 두 종류로 나눌 수 있어영.
이차식>0꼴 ↔ 큰큰작작
이차식<0꼴 ↔ 사이사이 이차식≥0꼴은 첫 번째, 이차식≤0꼴은 두 번째와 같은 경우로 생각하시면 됩니다~~ 이게 무슨 의미냐면영, x²-6x+5>0라는 이차식을 인수분해했다면 이차식=0이 되는 x의 값이 1과 5로 2개가 나오지영? 그러면 부등식의 답은 x>5 (큰 수보다 크고) 또는 x<1 (작은 수보다 작다)가 된다는 뜻이에영. 만약 x²-6x+5≤0라는 이차식을 풀라고 하면 답이 1≤x≤5 (1과 5의 사이)가 되겠지영. 즉 인수분해가 되는 꼴이라면 큰큰작작과 사이사이만 정확히 외우면 답을 구할 수 있습니다. 그런데 아무리 노력해도 인수분해가 안 되는 경우라면 또 두 가지로 나뉩니다. 판별식>0꼴 ↔ 근의 공식을 써서 억지로 인수분해
판별식 ≤0꼴 ↔ 그래프를 그려서 직접 확인
먼저 판별식이 0보다 큰 경우를 살펴볼게영. 이 경우에는 이차부등식을 이차방정식으로 바꾸어서 근의 공식에 대입하면 무조건 서로 다른 두 실근이 나오지영. 이 아이들을 구해줍니다. 그래서 루트가 들어있기는 해도 억지로 실근 2개가 나왔다면 위의 경우처럼 부등호에 따라 큰큰작작이나 사이사이를 해 주는 것이지영. 이 과정을 모두 외워야하는데, 전체 틀을 암기하지 않은 횐님들은 실제 문제를 풀 때 당황하게 됩니다.
판별식이 0보다 작거나 같은 경우에는 조금 더 머리를 써야 해영. 이 아이들은 이차방정식으로 바꾸어 풀면 중근이나 서로 다른 두 허근이 나온다는 뜻이므로 부등식으로 풀기가 애매합니다. 따라서 부등식을 그래프로 그려줘야 해영. 예를 들어서 x²-6x+10<0이라는 이차부등식을 풀고 싶다면, y=x²-6x+10이라는 그래프와 y=0이라는 그래프를 그려서 모양을 비교해 줘야 한다는 것이지영. 이 문제에서는 이차식이 0보다 작은 부분의 x값이 뭐냐고 묻고 있기 때문에 둘을 그려서 이차함수가 y=0보다 밑에 있는 부분을 찾으면 됩니다. 그려보니 하나도 없지영? 이차함수가 x축 위에 떠 있으니까영. 그러므로 이 문제의 답은 해가 없다가 됩니다. 만약에 x²-6x+10>0를 풀라고 했다면 모든 실수가 답이 되겠지영. 판별식이 0보다 작거나 같은 케이스의 경우에는 등호가 있나 없나, 크냐 작냐에 따라 답이 완전히 달라지기 때문에 다 외울 수가 없어영. 그때 그때 그래프를 그려서 눈으로 확인하는 것이 제일 좋지영. 너무 어려우신 분들은 교과서에 보면 케이스에 따라 답이 공식처럼 정리돼 있으니 그걸 외우셔도 됩니다.ㅠㅠ 하지만 우리가 수학2와 미적분을 공부해야 하는데, 이 개념을 해석하지 못하면 그 단원들을 배울 때도 헷갈리겠죠? 미리미리 이해해두시면 좋을 것 같네영.
오늘도 열공 후 넘나 뿌듯한 것! 공부를 다 하신 고등학교 2학년 횐님들은 라디안(호도법) 총정리도 확인해 보세영~~~😎
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (15) 이차방정식의 판별식
이차방정식의 판별식
이차방정식의 판별식에 대해 공부해봅시다. 이차방정식의 근을 구하지 않은 상태에서 근의 개수를 알아내는 방법입니다. 근의 개수를 ‘판별’해 준다는 의미로 ‘판별식’이라고 부릅니다. 판별식은 근의 공식 속에 숨어있습니다. 아래 근의 공식을 보시죠.
기본적으로 이차방정식은 두개의 근을 갖습니다.
그런데 만약 루트 안에 있는 식 가 0 이 된다면 어떨까요. 두 근이 같아지게 되죠? 따라서 이차방정식은 하나의 근을 갖게 됩니다. 이 근을 ‘중근’이라고 부릅니다. 근이 중복되었다는 뜻입니다.
이번에는 가 0보다 작게 되면 어떨까요. 루트 안이 음수니까 허수가 됩니다. 이차방정식은 두개의 허근을 갖게 되죠.
이렇게 의 부호만 알면 이차방정식의 근의 개수를 알 수 있습니다. 이 식이 바로 판별식입니다. Discriminant(판별식)의 약자인 D 로 표시합니다. 근의공식의 짝수 공식에서도 동일한 원리가 적용됩니다. 짝수 공식에서는 판별식이 이 됩니다. 그림으로 정리해봅시다.
그래프로 보는 이차부등식
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이차부등식의 목표
이차부등식이라고 해서 뭔가 헷갈리면 안된다. 이차방정식의 우리의 목표는 해를 구하는 것 이었다. 이차부등식도 마찬가지다. 목표는 해의 범위를 구하는 것 이다.
x가 절대값인 부등식
| x + 2 | < 5 이런게 있다. 뭐하냐? 절대값 풀어라. x + 2 < 5 , x + 2 > -5 -> -5 < x + 2 < 5 이다. 간략히 해서 -7 < x < 3 이다. 진짜로 그럴까? 진짜로 우리가 원하던 x, 그러니까 x+2해서 절대값 나오는게 5보다 작은 x가 -7보다 크고 3보다 작은 것 일까? 그래프 그려보자. 어랍쇼 진짜네. 잘 보면 x = 7에서 높이 5되고, x = 3에서도 높이 5된다. 그 이전까지는 모두 5보다 작고. 원래 식에서 보면 ... -5 < A < 5 사이에 있다. 그렇다면 | x - 2 | > 3 은?
풀어보자. x – 2 > 3, x – 2 < -3 -> 3 < x-2 < -3 어라? 이 식이 말이 안된다. 그래프는 위 사진과 같은데 .. 이럴땐 대입해보자. x-2 > 3 일때 x는 아마 6쯤 될 것 이다. 6이면 높이 4 된다. 정답이다.
반대로 x-2 < -3 일때 x는 -2 정도 된다. 어라. 이건 -3 보다 크다. 따라서 정답은, 그러니까 저 부등식의 정답은 x-2>3 -> x>5 다.
여기서 알 수 있는 점은, | x – k | < a 일때는 답이 -a와 a에 둘러 싸여있다는 것 이고, a 보다 클때는 둘 중 하나 인 것이다. 이차부등식과 판별식 위 목표에서 이차부등식은 여러가지 상황이 존재한다. 보통 이차방정식을 그래프로 그리고 x축과의 접점들을 근이라고 하는데, 이 근들의 존재 여부, 즉 그래프의 위치는 판별식(D)로 알 수 있었다. 이차부등식이 f(x) > 0 이런 식일때 우리는 정확히 x가 어떤 범위를 가지는지 알아내는 것이 목표다. 이때 f(x)의 그래프를 그려보았을때 그것이 전부 x축 아래일 수 있는 것 이다. 그러면 해가 없다. 또는 x축 위라면 모든 x가 이차부등식의 해, 즉 범위일 것 이다. 이런 여러 상황들을 그림으로 정리해보려고 한다.
> 와 >= 는 그저 근을 포함하지 않느냐 그러느냐의 차이니까 > , < 만 다루겠다 >.< ㅎㅎ f(x) = ax^2 ... 에서 a가 양수인 경우 D = 0 (중근), D < 0 (허근), D > 0 (근 두개)
Situation 1. f(x) > 0
목표 : f(x)가 0보다 크게 만드는 x들의 범위를 구하자
D = 0 중근 x=알파를 제외한 모든 x가 답이다. 즉, a != x
D < 0 애초에 이차방정식의 해 가 허근이다. 어쨌거나 모든 x에 의한 값이 0보다 크므로 x. D > 0 접하는 두 점이 있다. 이 두 점부터는 부등식을 만족하지 못하게 된다. 즉, a > x 또는 b < x 다. Situation 2. f(x) < 0 목표 : f(x)가 0보다 작게 만드는 x들의 범위를 구하자 D = 0 중근 만약 0도 포함이라면 알파가 답이겠지만서도 아니므로 답은 없다. D < 0 허근이다. x축 밑으로 내려올 일말의 가능성이 없다. 답 없다. D > 0 접하는 두 점이 있다. 이 두 점 사이만 0보다 작다. 곧, a < x < b 다. f(x) = ax^2 ... 에서 a가 음수인 경우 D = 0 (중근), D < 0 (허근), D > 0 (근 두개)
Situation 1. f(x) > 0
목표 : f(x)가 0보다 크게 만드는 x들의 범위를 구하자
D = 0 중근이다. 절대 안된다. 만약 크거나 같다의 등호라면 알파가 답이다.
D < 0 허근이다. 올라갈 일말의 가능성도 없다. 답없다. D > 0 알파와 베타 사이 구간만 된다. 즉 a < x < b Situation 2. f(x) < 0 목표 : f(x)가 0보다 작게 만드는 x들의 범위를 구하자 D = 0 중근이다. 만약 0도 포함이라면 알파가 답이겠지만서도 아니므로 답은 없다. D < 0 허근이다. 무조건 된다. D > 0 알파와 베타 사이 구간만 된다. 즉 x < a 또는 x > b
문제 풀이
이런 것들의 문제 풀이 핵심은 그래프 그리기다. 그렇다고해서 복잡하지는 않다. 부등식이 한개 있을때, 위에서 보았던 것 처럼 그래프를 그리거나 바로 해를 구할 수 있을 것 이다.
연립 이차부등식 또한 이와 같은 방법으로 풀 수 있다. 첫번째로, 두 식을 인수분해하여 좌항과 우항의 관계가 0보다 크거나 작다의 expression으로 만들어라. 그런 다음, 좌항의 그래프를 그려보라. 총 2개의 그래프를 그릴 수 있을 것 이다. 인수분해 했을때 구한, 대입시 0이 되어버리는 x들의 좌표가 곧 x축과의 접점인 것은 자명하므로 이것들이 범위를 구성하는데에 주축이 되는 것 또한 마찬가지다. 이렇게 범위를 구할 수 있다. 어떤 방식으로냐, 1 > x 또는 x < 3 의 범위가 한개의 식에서 나오고, 1 < x < 5 의 범위가 또 다른 식에서 나온다고 치면, 당연하게도 논리적으로 맞아떨어지는 식을 찾아야 한다. 일단 x가 1보다 작아야 한댔는데, 다른 식에서 보면 1보다 크다고 한다. 그럼 이건 뭐냐? 그냥 또 다른 범위 인 것 이다. 그래프를 그려보면 다 나온다. 어쨌든 그럼 x가 3보다 작다면? x가 5보다 작다는 말과 병합된다. 그러니까, x가 3보다 작아야 한다. x < 5 는 '연립된 부등식'에서 해가 되지 않는다. x < 5를 x < 3으로 고쳐본다. 그리고 x < 1 를 대체할 것이 있는지 찾아본다. 없다. 그럼 답은 1 > x 또는 1 < x < 3 이다. 반응형
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